矢量的模是什么,“平面向量的实际背景及基本概念”教学设计
重庆市第八中学校 熊翼
摘要：向量是目前高中数学课程中的重要数学内容，它是沟通代数、几何与三角函数的重要工具．从数学教学设计基本构成的五个方面：教学内容解析，教学目标设置，学生学情分析，教学策略分析，教学过程，对平面向量的实际背景及基本概念一课进行思考和剖析.教学设计过程中的预案措施和设计意图，让学生亲身经历数学概念的形成过程，培养研究向量概念的学习 *** 和思维方式，体会数学概念的研究过程，旨在达到获得研究其他新的数学对象的基本 *** 和研究途径的目的．
关键词：平面向量；教学设计；教学内容；教学目标；教学过程
教学内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学4》（人教A版）第二章之一节平面向量的实际背景及基本概念．平面向量的实际背景及基本概念属于概念性知识．
平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用．一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本 *** 和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定 *** 的基础．所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有交代问题背景、引入基本概念、渗透研究 *** 、构建研究蓝图的大气．本节课的教学内容具有如下特征．
（1）概念多．本节课内容包括平面向量的概念，向量的表示、相等向量、平行向量、共线向量等概念．可谓概念众多，但各概念的定义感觉并不难，所以，很多老师似乎觉得没什么东西可讲，通常会采用一个定义，几个注意，典型例题，大量练习的教学方式．这样做虽然完成了教学任务，但往往是老师讲得枯燥乏味，学生听得索然无趣．
（2）向量具有极其丰富的实际背景．向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量都是它的物理背景，有向线段是它的几何背景．向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又可作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及生活中的问题．
（3）本节课的很多内容与学生的已有知识有很大的相关性．数量与向量、零与零向量、1与单位向量、平行线与平行向量等知识既有区别又有联系，所以，我们可以用数量加方向来刻画向量，认识到向量的两个本质属性（大小和方向）；用实数中的特殊数0与1，类比得到向量中长度为零的向量（零向量），长度为1的向量（单位向量）这两个特殊的向量；用几何图形中两直线的平行类比得到平行向量（共线向量）．这样，学生已学的旧知识就可作为产生新知识的固着点和生长点，学生通过进行类比思考，就能较为自然地得出新知识．
因此，我们认为本节课的教学重点除了向量概念、向量的表示 *** 、相等向量和共线向量等概念之外，更为重要的是获得这些概念的基本套路．即获得数学研究对象、认识数学新对象的基本 *** ，用数学的观点刻画和研究现实事物的 *** 和途径，这才是数学学习的本源．
教学目标设置
课堂教学目标如下。
（1）理解向量的概念，掌握向量的表示 *** ；
（2）理解特殊的向量：零向量、单位向量；理解向量的几种特殊关系：平行（共线）向量、相等向量；
（3）体会研究一个数学新对象的基本 *** ；
（4）经历向量的概念、表示及特殊向量的学习，感受类比的思想和联系的观点是科学探究中常用的策略，进而提高提出问题、研究问题的能力；
（5）经历借助有向线段表示向量的操作过程，体会数学的实用性、表达的简洁美．
学生学情分析
学生已经具备的认知基础以及达成教学目标时所需要具备的认知基础如下。
（1）在物理学中，已经知道重力、弹力、摩擦力等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；
（2）知道可以借助有向线段来求作力的图示；
（3）已经经历并了解实数的形成过程；
（4）对实际生活中的一些常见的量能识别它们是否具有大小、方向；
（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而实现解决问题．
但是，高一学生在思维辨析方面还较薄弱．所以在对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析．
基于上述分析，本节课的难点在于向量相关概念的形成．这是学生获得新的数学对象的基本 *** 、基本套路的重要体现，需要学生思维的灵活性和思考的主动性．
教学策略分析
为了更好地突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，笔者采用启发指导式、探究讨论式的教学方式．通过创设情境，归纳共性抓住本质，抽象定义合作探究，形象表示认识特殊、辨析升华归纳小结，拓展思考等教学环节循序渐进地获取研究新对象，合乎情理地定义新对象，逐步形成研究向量的一般套路，引导学生达成本节课的教学目标．
笔者采取以下主要策略突破难点。
（1）通过大量实例引导、启发学生联系既有生活经验，从众多实例中归纳抽象出实例中对象的本质属性，形成向量这一概念，理解及其所具备的两个要素．
（2）先让学生独立思考，然后同桌相互讨论，再请学生在黑板上展示，大家一起探求合理而简洁的表示向量的 *** ．
（3）通过联系的观点、类比的思想，引导学生联系实数中特殊的0与1，结合向量的两个要素来理解零向量与单位向量．
（4）通过类比的思想，引导学生联系数的相等，结合向量的本质属性，认识相等向量、共线向量的概念．
在本节课的教学中，教师应关注学生的主体地位，他们是向量及相关概念的建构者，教师只是帮助学生建构新知识的组织者、合作者和参与者，其主要任务是为学生建构新知识提供支架．学生对新知识的建构情况是多样的，并不是一蹴而就的．因此，笔者在设计本节课时，根据学情对每一个建构活动都做好了充分的预案，针对学生的不同建构，灵活地进行引导启发，帮助学生获得对知识的正确理解．
教学过程
（一）创设情境，归纳共性
结合ppt，展示三个情境。
（1）与男子100米世界冠军博尔特赛跑；
（2）老鼠由点A向东北方向以每秒1米的速度逃窜，猫由点B向正东方向以每秒5米的速度追赶．猫能抓到老鼠吗？为什么？
（3）甲、乙两车分别以40千米/时、60千米/时的速度从同一地点出发。
①甲、乙两车都向东行驶，1小时后，它们相距多少千米？
②甲车向东、乙车向西，1小时后，它们相距多少千米？
两车同样的速度（大小）和时间，为什么前后两种情境，两车距离悬殊这么大？
师：（追问）你能再举出类似既有大小又有方向的量吗？
师：（再次追问）那你能举出只有大小没有方向的量吗？
【设计意图】
（1）通过以上三个实例，让学生充分感受既有大小又有方向的量是客观存在的，进而让学生发现并讲出现实生活中具有既有大小又有方向的量．
（2）通过三个例子，主要侧重于学生对方向的感知，三个例子都是因为方向而影响结果．
（3）教师的追问在于激活学生已有的相关经验，进一步加深对既有大小又有方向的量的理解.
（4）教师的再次追问在于形成区别，对比不同的量的必要性，反面渗透向量的本质属性之一方向.
（二）抓住本质，抽象定义
刚才同学们提到的位移、速度、力等既有大小又有方向的量在生活中大量存在，类似于以前我们从一支笔、一本书、一张桌子抽象出了只有大小的数量1，数学中对以上既有大小又有方向的量进行抽象，就形成了一种新的量——向量。
教师随即强调：从向量的概念可以看出，它不同于我们之前学习研究的数．数只有大小，没有方向．而向量既有大小又有方向．
【设计意图】反复强调方向的重要性，向量的方向虽然不难理解，但容易被忽略．
（三）合作探究，形象表示
师：我们研究数学知识，认识数学概念之后，为进一步研究的方便，通常要先表示它，向量也是如此．结合已有的经验，你打算怎样表示向量呢？
给予学生充足的时间思考。
【设计意图】
（1）当我们认识一个新事物后，自然会想到如何来表示它．在过渡语言中，渗透研究新事物的基本套路．
（2）表示向量时，既要考虑大小，又要兼顾方向，这是一个难点，给予学生充足的时间，旨在期望学生自行突破．
教学预案：
（1）若学生通过充分的独立思考后，仍然没有解决之道，教师可以鼓励同桌之间相互讨论．
（2）若充分讨论之后，仍然没有办法，此时教师给予适时引导：物理学中，我们是如何形象地表示力（位移）的大小和方向的？
（3）在任何一个环节中，只要存在部分学生有了思路，便鼓励其到黑板上展示．
（4）展示结果时，学生如果不能一步到位，教师要适时引导，表示向量时，在合乎情理（既要考虑大小，又要兼顾方向）的前提下，如何让其表达更为简洁？发动全班学生的力量解决问题．此处坚持让学生自主得出向量的表示 *** 以及表示的合理性（借助于有向线段来表示向量）．
教师用准确的语言对向量的表示做准确的描述并加以强调。
【设计意图】
（1）作为对一个新事物的形象表示，教师有必要做准确的陈述，并加以强调．
（2）结合学生的描述，教师引导学生适时拓展，得到向量的多种合情合理的表示．
（3）在教师引导下，理应有学生可以想到借助于有向线段来表示向量，教师借此机会进行表扬，称赞其想法与大数学家牛顿的想法不谋而合，赞扬学生的同时，渗透数学史的知识．
师：（追问）向量AB与向量BA是一回事儿吗？
【设计意图】启发学生时刻注意向量的方向性，得到了向量的常见表示 *** 之后，通过类比线段的表示 *** ，结合向量的特殊性，从而加深对向量概念的进一步理解．
（四）认识特殊，辨析升华
师：现在我们会表示向量了，我们可以更直观地研究它，我们自然可以想到先从特殊入手，那么，在向量这个大家庭中，你认为哪些向量特殊呢？
【设计意图】能够表示向量之后，自然会想到对向量展开研究；研究新对象时，自然能想到先研究其中的特殊成员，教师的过渡语旨在进一步渗透研究数学新对象的基本套路．
教学预案：
（1）若学生不能回答出特殊的向量，教师可激发学生思考研究实数的基本套路，启发学生用类比的思想、联系的观点来突破对向量的研究．
（2）若学生能够发现特殊的向量，不管是回答的零向量、单位向量或是平行向量……首先引导其归类，然后将学生的思维往关注大小去引导，最后追问学生：你为什么认为它比较特殊？
师：（追问）我们已经知道了长度为0的向量是零向量，那它的方向呢？
【设计意图】旨在进一步引导学生抓住向量的重要且容易忽略的要素——方向，并再次渗透规定任意方向的合理性．且用类比的 *** ，突破单位向量的方向问题．
有了单位长度的刻画，我们才有度量向量大小的标准．
指出图1中各向量的模，其中有没有单位向量，有几个？
【设计意图】
（1）旨在通过习题，立即反馈所学内容，加深对向量的模及单位向量的理解．
（2）通过以上图形，为平行向量（共线向量）的引出做铺垫．
师：从方向上看，图1中，向量与向量之间形成了怎样的特殊关系？
【设计意图】教师启发，由学生归纳出平行向量的定义
师：平行向量是从方向上对向量关系的刻画，与他们大小有关吗？
【设计意图】适时提醒和加深学生对向量的两个要素的认识．
师：在这几组平行向量中，有没有更特殊的？
教学预案：学生回答向量AB与向量EF方向相同，长度也相等．
师：我们可以给大小相等、方向相同的两个向量再下一个定义——相等向量。
【设计意图】（1）让学生参与概念的定义过程，使概念成为学生观察、概括之后的自然产物．
（2）不仅关注概念的产生结果，更要注重概念的产生过程．尤其要重视学生用向量的概念去思维的过程．
师：两个向量是否相等，与他们的位置有关吗？
教师归纳，任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．说明同一向量是可以平行移动的自由之躯．
【设计意图】反复渗透向量具有两个要素，相等向量说明向量可以自由平移，这为以后解决问题带来极大方便，也为共线向量的自然引出做好铺垫．
这节课我们对现实世界中的既有大小，又有方向的一种量（向量）进行了数学的归纳、抽象和定义，并围绕着这个基本概念，探究了它的表示及特殊向量——零向量、单位向量，特殊关系——平行（共线）、相等．实际上，今天我们不仅仅是在探究向量体系的基础，也经历了建立一个数学知识体系的过程，即归纳共性—抽象定义—形象表示—认识特殊—研究一般．
思考问题：继续用类比的思想、联系的观点，以及延续本节课研究向量的基本套路，你预见我们还可以研究向量的哪些内容？
【设计意图】（1）本节课花了较大的精力去抽象定义，形象表示，认识特殊。一方面，希望学生能够认识到探索过程的价值；另一方面，希望学生通过这节课，经历多个数学概念的形成过程，体会其中蕴涵的合理的思维方式和数学思想，从而得到研究新事物的基本套路．
（2）为检查学生对本节课的学习认识深度、理解水平以及继续激发与保护学生的探索兴趣，教师引导学生预见继续研究向量知识的方向．
参考文献：
[1章建跃，陶维林．概念教学必须体现概念的形成过程[J．数学通报，2010（1）：25~27．
[2章建跃．数学教学目标再思考[J．中国数学教育(初中版)，2012(7/8)：3~4．
,平面向量的实际背景与概念平面向量的实际背景及基本概念教学设计