力法与位移法的比较区别与联系,矩阵杠杆法的研究
王开明安康市交通规划设计院
摘 要：本文针对连续梁应用现有 *** ，有手工解算繁琐，不易在计算机上实现运算等缺陷问题展开研究，建立了依据杠杆原理的一种新的解算体系 *** ——矩阵杠杆法。具体 *** 是，以某一荷载作用跨作为基本静定结构，撤去其余全部支座，将要计算的某一支座与荷载作用跨构成两跨连续梁，或带悬臂梁的两跨连续梁基本结构，撤去的支座以单位荷载作用在基本结构上构成解算体系，根据未知量的个数构建杠杆法方程和系数矩阵，在基本结构上求解出系数δij和自由项ΔiP，对号入座进入系数矩阵，求解系数矩阵得出各支座反力。本文给出了基本结构在集中荷载、力偶荷载、局部均载、线性荷载、单位荷载作用下，杠杆法方程系数δij和自由项ΔiP计算 *** 公式，并附算例对解算体系 *** 作了进一步说明。研究结果表明，矩阵杠杆法对解算连续梁，和与连续梁外部约束相同的一类超静定结构十分简便，一个结构组合确定后，所有杠杆法系数δij可一次完成求解，而自由项ΔiP计算更加简便，仅是关于荷载作用点x一个变量的函数式或积分式，实现了一步求解另一特点是结果精确，可对力法、位移法计算结果进行校验再者，矩阵杠杆法的计算，基本为重复性计算，容易在计算机上实现运算。矩阵杠杆原理法不依赖于结构刚度位移基本假定求解超静定结构，是结构力学求解超静定结构理论 *** 上的创新成果。
关键词：矩阵杠杆法求解连续梁支座反力
连续梁是一种应用非常普遍的超静定结构，在实际工程中，经常会遇到对连续梁强度和刚度进行验算，就需要先求出连续梁的支座反力，现有主要 *** 是位移法和力法，这些 *** 都建立在结构刚度和位移的假定上，当连续梁受到均布荷载、线性荷载作用时，有曲面积分或曲面积图乘，存在计算位移法和力法方程的自由项很繁琐，还有一定累计误差的问题，上述 *** 都需要建立和解算联立方程，当未知量较多时，计算工作十分繁重，为寻求适合手工计算的 *** ，人们先后提出了力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等许多 *** ，这些 *** 都属于位移法类型的渐近解法，需要逐节点推求，不能一次解算出全部未知量。同时，位移法和力法不易在计算机上实现，后来利用定位向量集成刚度矩阵才实现了计算机程序运算因此，开创一种不依赖于结构虚位移假定，既适合于手算而且容易在计算机上实现运算的新 *** ，是本研究的主要内容。
1矩阵杠杆法简介1.1杠杆法原理以图1两跨连续梁为例，连续梁支座按自左向右顺序为s、t、i，跨径分别为Lst、Lti，跨径之和为L，竖向集中荷载P作用在Lst跨，作用点距s支座距离为x，距t支座为Lst-x,
对图1连续梁，t支座构成杠杆支点，P作用在i支座产生杠杆力为Xip，在s支座产生杠杆力为Xsp，二者方向相反，P作用对支点t的力矩为MP，那么有:
图1 连续梁荷载作用图 下载原图
对于等跨连续梁，Xip和Xsp构成力偶矩矢，方程(1-1)写为:
因此，只要确定了MP，连续梁的支座反力即可求解。
图2 连续梁中杠杆原理图 下载原图
研究发现，MP与跨径比系数K1和荷载作用点系数K2有关，荷载作用跨与相邻跨跨径之比系数K1为常量，
杠杆法移动荷载作用点系数为K2，随x增大而增大，在0.5≤K2≤1区间变化，按下式计算:
集中荷载P按简支梁分配到s、t两个支座的反力分别为:
与XspLst=XipLti具一致性
那么，集中荷载P的作用对支点t支座的杠杆力矩MP为，
根据方程(1-2)，荷载P的作用在i支座的杠杆力为:
由杠杆原理可知，
无论跨径相等与否，s、i支座的杠杆力对t支座的力矩相等
将公式(1-6)参数中的x代入得到:
公式(1-8)表明，集中荷载作用下的杠杆力是以x为变量的三次函数。
各支座的反力:
综上，杠杆原理在超静定结构中依然有效，运用杠杆原理解算超静定结构 *** 可行。
公式中符号意义如下:
Lst为s、t支座之间的跨径
L为t、i支座之间的跨径
L为跨径之和
Xip为荷载P在第i号支座产生的杠杆力
Xsp为荷载P在第s号支座产生的杠杆力
MP为荷载P产生的杠杆力矩
K1为荷载作用跨与相邻跨跨径之比系数
K2为杠杆法荷载作用点系数
x为荷载作用点距左支座的距离
Ps1为荷载P作用按简支梁分配到s支座的支座反力
Pt1为荷载P作用按简支梁分配到t支座的支座反力
Rs为第s号支座的反力
Rt为第t号支座的反力
Ri为第i号支座的反力。
1.2矩阵杠杆法的 *** 步骤以图3为例，具体是:
之一步，将多跨连续梁的支座按自左向右顺序编号，支座的编号与线性方程中未知量编号一致，线性方程总的个数与未知量的个数相等，将连续梁中计算的荷载作用跨编号的两个方程空缺
图3 多跨连续梁荷载作用图 下载原图
第二步，撤去荷载作用跨以外的全部支座约束，荷载作用跨按简支梁办理，撤去的支座代之以Xi=1的作用，形成矩阵杠杆法解算的基本体系，见图4然后按计算顺序添加支座，构成计算自由项Δi P和系数δij的两跨连续梁或带悬臂梁两跨连续梁的计算基本结构，其中包含有荷载作用跨
图4 矩阵杠杆法基本体系图 下载原图
第三步，列矩阵杠杆法方程，构建系数矩阵，
系数矩阵为，
当连续梁中多跨有荷载作用时，按有荷载作用跨分别构建基本体系，列矩阵杠杆法方程和系数矩阵
第四步，在基本结构上按杠杆原理法公式计算杠杆法方程的系数和自由项，计算 *** 是:计算i支座的系数和自由项时，添加i支座，形成计算Xi系数的基本结构，计算i支座的自由项Δi P时，i支座与荷载作用跨构成两跨连续梁，按集中荷载、均布荷载、线性荷载、力偶荷载作用下杠杆法求解两跨连续梁支座反力的 *** ，求解出i支座的自由项Δi P在计算Xi系数的基本结构上，即两跨连续梁或两跨带悬臂连续梁，撤去荷载作用，按计算顺序添加其余支座Xj=1的作用，按杠杆法公式逐一计算Xj=1对i支座的支座反力系数δij，完成i支座未知量Xi的系数计算其中，主系数δii=1，一般情况下副系数δij≠δji，对称结构则相等重复上述过程，完成线性方程组全部系数计算当荷载作用跨有多种荷载作用时，将多种荷载作用单独计算后叠加得到自由项Δi P，将计算出的系数和自由项对号入座进入第三步的系数矩阵中
第五步，求解系数矩阵得出各支座反力，数值为负时，表明支座反力方向与Xj=1假定方向相反，再按静定平衡方程计算出荷载作用跨两个支座的反力，按约定坐标系力的方向确定各支座反力的正负号，给出计算结果当连续梁中多跨有荷载作用时，按有荷载作用跨分别构建分块系数矩阵，将分块矩阵求解得到的支座反力结果叠加，得到最后的各支座反力值一个结构组合的跨数跨径确定了，矩阵杠杆法方程系数δij即可一次计算确定，自由项Δi P需要根据具体的荷载组合计算确定。
所述的符号意义如下:
δii—未知量Xi的主系数，
Xi—第i号支座反力未知量，
δij—副系数，第j号支座单位荷载X=1作用，在第i号支座产生的支座反力，
Xj—第j号支座反力未知量，
Δi P—矩阵杠杆法方程自由项，荷载P作用在第i号支座产生的支座反力，
δji—副系数，第i号支座X=1作用，在第j号支座产生的支座反力，
δjj—未知量Xj的主系数，
Δj P—自由项，荷载P作用在第j号支座产生的反力
2基本结构系数的计算 *** 2.1集中荷载作用下两跨连续梁基本结构系数计算 *** 2.1.1两跨连续梁基本结构的支座顺序为s、t、i，求i支座的自由项Δi P和系数δij基本结构跨径分别为Lst、Lti，竖向集中荷载P作用在Lst跨，移动荷载P作用点距s支座距离为x，距t支座为Lst-x，按本文1.1节所述，i支座自由项Δi P按(1-8)公式计算:
i支座的系数δij计算:
撤去基本结构荷载作用，当j支座位于s、t支座之间时，δij按下式计算
当j支座位于t、i支座之间时，距t支座为x，距i支座为Lti-x,j支座单位荷载Xj=1的作用对i支座的反力系数为δij,s支座的杠杆力为Xsj,
式中参数:K1=Lti/Lst,L=Lst+Lti,
2.1.2两跨连续梁基本结构的支座顺序为i、s、t，计算i支座的自由项Δi P和系数δij集中荷载P作用在Lst跨，作用点距s支座距离为x，距t支座距离为Lst-x，则i支座的Δi P按下式计算:
系数δij的计算:
支座顺序为i、s、t，撤去基本结构荷载作用，当j支座位于i、s支座之间时，距i支座距离为x，距s支座距离为Lis-x,j支座单位荷载Xj=1的作用下，t支座的杠杆力为Xtj，则，
式中参数:K1=Lis/Lst,L=Lis+Lst,Pi1=(Lis-x)/Lis×1,Ps1=x/Lis×1。
2.2均布荷载作用下两跨连续梁基本结构自由项Δi P计算 ***基本结构的支座顺序为s、t、i，局部均载荷载集度为q，作用在两跨连续梁Lst跨，均布荷载起点距s支座距离为x1，终点为x2，均布荷载分布长度为x2-x1,L=Lst+Lti,i支座的自由项Δip按下式计算:
Lst全跨均布荷载q作用时，
基本结构的支座顺序为i、s、t，局部均载q作用在两跨连续梁Lst跨，局部均载起点距s支座距离为x1，终点为x2，分布长度为x2-x1,L=Lis+Lst,i支座的自由项Δip按下式计算:
Lst全跨均布荷载作用时，
2.3线性荷载作用下两跨连续梁基本结构自由项Δi P计算 *** 2.3.1基本结构的支座顺序为s、t、i，求i支座的自由项Δip线性荷载作用在连续梁Lst跨，起点距s支座距离为x1，终点为x2，线性荷载分布长度为x2-x1，线性荷载起点处荷载集度为Qi，线性荷载终点处荷载集度为Qj，则Δip按下式计算:
式中参数:
Qx=Qi+(x-x1)/(x2-x1)×(Qj-Qi)，令μ=(Qj-Qi)/(x2-x1)，那么，
Pt1=(Qi+μ(x-x1))×x/Lst,Qj